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Ein Young-Tableau ist ein Kästchenschema, das nach
bestimmten Regeln mit Zahlen gefüllt ist. Diese
Young-Tableaux ermöglichen einige interessante
Konstruktionen. Sie treten in der Mathematik sehr oft auf,
insbesondere beim Studium von symmetrischen Funktionen und der
Theorie der linearen Darstellungen der symmetrischen Gruppen oder
komplexen allgemeinen linearen Gruppen.
Vortrag
1: Young Tableaux, Bumping und Jeu de Taquin. Aus [F, §1].
Führen Sie Young-Diagramme und Tableaux ein und erläutern
Sie Bumping- und Sliding-Operationen.
Vortrag
2: Wörter und Relationen. Aus [F, §2.1].
Definieren Sie das plaktische Monoid.
Formulieren Sie den Satz, der den Zusammenhang mit den Young
Tableaux herstellt, und beweisen Sie die Korollare.
Vortrag
3: Schur-Polynome, Spalten. Aus [F, §2.2, 2.3]. Führen
Sie symmetrische Funktionen ein und definieren Sie die
Schur-Polynome.
Vortrag
4: Ansteigende Folgen in Wörtern. Aus [F, §3].
Beweisen Sie den Satz aus Vortrag 2.
Vortrag
5: Robinson-Schensted-Knuth-Bijektion (Teil 1). Aus
[F, §4.1, 4.3]. Der
Robinson-Schensted-Knuth-Algorithmus ist ein
wichtiges und schönes Beispiel für einen
kombinatorischen Algorithmus. Er liefert den konstruktiven Beweis
für eine (kombinatorische) Identität.
Vortrag
6: Robinson-Schensted-Knuth-Bijektion (Teil
2). Aus [F,
§4.2]. Beweisen Sie
den Satz über die RSK-Bijektion.
Vortrag
7: Die Littlewood-Richardson-Regel (Teil
1). Aus [F, §5.1, 5.2]. Diese Regel
spielt bereits eine zentrale Rolle in der Darstellungstheorie der
symmetrischen Gruppen.
Vortrag
8: Die Littlewood-Richardson-Regel
(Teil 2). Aus [F,
§5.3 / A3]. Ziele des Vortrags sind weitere Interpretationen
der Littlewood-Richardson-Zahlen.
Vortrag
9: Der Ring der symmetrischen Polynome
(Teil 1). Aus [F,
§6.1]. Neben den Schur-Polynomen sollen weitere Basen
symmetrischer Polynome eingeführt werden.
Vortrag
10: Der Ring der symmetrischen Polynome (Teil
2). Aus [F,
§6.2]. Erläutern Sie Grundlegendes über Ringe und
deren Strukturkonstanten und interpretieren Sie Ergebnisse der
vorhergehenden Vorträge neu. Zeigen Sie mit der
Jacobi-Trudi-Formel einen anderen Zugang zu Schur-Polynomen auf.
Vortrag
11+12: Darstellungen der symmetrischen Gruppen (Teil
1+2). Aus
[F, §7]. In diesen (in der
Vorbereitung schwereren) Vorträgen soll eine Einführung
in die Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppen gegeben
werden. Sie hat zahlreiche Anwendungen, auch in der Physik.
Vortrag 13: Darstellungen der
Gruppen GLn. Aus
[F, §8]. Zeigen Sie, wie man die zuvor entwickelten Konzepte
in natürlicher Weise für die Darstellungen der Gruppen
GLn verwenden kann.
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