Die Formalisierung einer Grundlage der Mathematik in den Axiomen von Zermelo und Fraenkel führt den Mathematiker unmittelbar auf theoretische Fragen, deren Antworten nicht mehr mit den Methoden der naiven Mengenlehre zu finden sind.

Aus einer naiven Einführung in die Mengenlehre kennt man den Begriff der Limeskardinalzahl (eine Kardinalzahl, die nicht Nachfolger einer anderen Kardinalzahl ist) und den Begriff der regulären Kardinalzahl (eine Zahl, die nicht als kleine Vereinigung kleiner Mengen gewonnen werden kann). Man kann beweisen, dass alle Kardinalzahlen, die kein Limes sind, regulär sein müssen und man kann Beispiele für nicht-reguläre (singuläre) Limeskardinalzahlen angeben. Aber gibt es reguläre Limeskardinalzahlen?

Die Antwort auf diese Frage überrascht: Wir können weder mit 'Ja' noch mit 'Nein' antworten, aber wenn es eine reguläre Limeskardinalzahl gibt, dann haben wir einen Konsistenzbeweis für die Axiome der Mengenlehre; eben jenen Beweis, von dem der Gödelsche Unvollständigkeitssatz sagt, dass er nicht im Zermelo-Fraenkel-Axiomensystem geführt werden kann.

Eine einfache mengentheoretische Frage hat uns mitten in die Komplikationen der mathematischen Logik gebracht. Es stellt sich heraus, dass die regulären Limeskardinalzahlen (auch "unerreichbare Zahlen" genannt) lediglich der Anfang einer Hierarchie von Reichhaltigkeitsaxiomen für das mengentheoretische Fundament sind.

In dieser Veranstaltung wollen wir uns mit den Grundlagen der Theorie dieser sogenannten "Großen Kardinalzahlen" beschäftigen. Im Rahmen dieser Beschäftigung wird deutlich, warum die Mengenlehre und die mathematische Logik untrennbar miteinander verknüpft sind.