| Montag, 3. April 2017
| Erste Vorlesung. Motivation: Kardinalzahlen und Ordinalzahlen. Eigenschaften von Mengenuniversen:
Extensionalität, leere Menge, Einermengen, Paarmengen, Vereinigungen, Aussonderung,
Dedekind-Unendlichkeit.
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| Dienstag, 4. April 2017
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Zweite Vorlesung. Eigenschaften von Mengenuniversen:
Potenzmengen, geordnete Paare, kartesische Produkte, Relationen, Funktionen.
Zahlentheoretische Strukturen, Peano-Strukturen, induktive Mengen. Die mengentheoretische Definition der natürlichen Zahlen und
einige Eigenschaften. Addition auf den natürlichen Zahlen: kardinale und ordinale Definition.
Übungsblatt #1 (Abgabe: 11. April 2017).
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| Montag, 10. April 2017
| Dritte Vorlesung.
Ordnung auf den natürlichen Zahlen. Transitive Mengen. Trichotomiesatz.
Prinzip der Ordnungsinduktion und Prinzip des kleinsten Elements.
Relation "ist höchstens so groß wie" und ihre fehlende Antisymmetrie.
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| Dienstag, 11. April 2017
| Vierte Vorlesung. Endlichkeit, Abzährbarkeit, Überabzählbarkeit. Abzählbarkeit
der rationalen Zahlen. Satz von Cantor. Zusammenhang zwischen den reellen Zahlen und der Potenzmenge der
natürlichen Zahlen. Satz von Cantor-Schröder-Bernstein.
Übungsblatt #2 (Abgabe: 18. April 2017).
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| Montag, 17. April 2017 | Ostermontag
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| Dienstag, 18. April 2017
| Fünfte Vorlesung. Kardinalitätsoperationen auf Mengen: Addition, Multiplikation
und Exponentiation. Eigenschaften dieser Operationen. Kardinale Definitionen von Addition und Multiplikation auf
den natürlichen Zahlen. Wohlordnungen: Beispiel zweier nichtisomorpher abzählbarer Wohlordnungen.
Übungsblatt #3 (Abgabe: 25. April 2017).
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| Montag, 24. April 2017
| Sechste Vorlesung.
Isomorphismen von Wohlordnungen.
Abzählbare Wohlordnungen als Umordnungen der natürlichen Zahlen.
Anfangssegmente von Wohlordnungen. Die Ordnung
"ist kürzer als" auf Wohlordnungen. Eindeutigkeit von Isomorphismen
auf Wohlordnungen. Der Rekursionssatz auf Wohlordnungen.
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| Dienstag, 25. April 2017
| Siebte Vorlesung.
Die Nachfolgeroperation auf Wohlordnungen.
Die Relation "ist höchstens so lang wie"
auf Wohlordnungen und ordnungserhaltende Injektionen. Kodieren von
abzählbaren Wohlordnungen als Teilmengen von N×N.
Satz von Hartogs und die Existenz überabzählbarer Wohlordnungen.
Übungsblatt #4 (Abgabe: 2. Mai 2017).
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| Montag, 1. Mai 2017 | Maifeiertag
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| Dienstag, 2. Mai 2017
| Achte Vorlesung. Die Ersetzungsbedingung oder das Ersetzungsaxiom. Verallgemeinerter Rekursionssatz
(ohne Beweis). Mostowskischer Kollabierungssatz. Ordinalzahlen und ihre Eigenschaften. Nichtexistenz der Menge
aller Ordinalzahlen. Nichtexistenz der Menge aller Mengen.
Übungsblatt #5 (Abgabe: 9. Mai 2017).
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| Montag, 8. Mai 2017 | Neunte
Vorlesung. (Vertretung durch Herrn Dr. Wohofsky.) Auswahlaxiom und einfache
Äquivalenzen. Wohlordnungssatz. Zornsches Lemma. Äquivalenz zwischen
Auswahlaxiom, Wohlordnungssatz und Zornschem Lemma.
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| Dienstag, 9. Mai 2017 | Zehnte
Vorlesung. Folgerungen aus dem Wohlordnungssatz: Vergleichbarkeitssatz und
Existenz von Injektionen aus Surjektionen. Kardinalzahlarithmetik: Addition,
Multiplikation, Exponentiation und grundlegende Eigenschaften. Satz von
Hessenberg (ohne Beweis). Transfinite Rekursion auf den Ordinalzahlen.
Beispiel: die Alephs.
Übungsblatt #6
(Abgabe: 16. Mai 2017).
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| Montag, 15. Mai 2017 | Elfte
Vorlesung. Transfinite Induktion aus den Ordinalzahlen. Normale
Ordinalzahloperationen und die Existenz beliebig großer Fixpunkte.
Aleph-Fixpunkte. Die Beth-Operation. Beth-Fixpunkte. Kontinuumshypothese und
verallgemeinerte Kontinuumshypothese. Rekursive Definition der
Ordinalzahladdition und grundlegende Eigenschaften. Subtraktion.
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| Dienstag, 16. Mai 2017
| Zwölfte Vorlesung. Rekursive Definition der
Ordinalzahlmultiplikation und grundlegende Eigenschaften. Division mit Rest.
Rekursive Definition der Ordinalzahlexponentiation und grundlegende
Eigenschaften. Theorem über die Cantor-Normalform (Existenz).
Übungsblatt #7 (Abgabe: 23. Mai 2017).
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| Montag, 22. Mai 2017 | Dreizehnte
Vorlesung. Theorem über die Cantor-Normalform (Eindeutigkeit).
Leitexponent der Cantor-Normalform. Drei Bedeutungen der
Exponentenschreibweise: für Mengen, Ordinalzahlen und Kardinalzahlen.
Ordinale Notation für Kardinalzahlen: ℵα =
ωα. Berechnungen mit Ordinalzahlen. Absorptionstheorem
der Kardinalzahladdition. Gerade und ungerade Ordinalzahlen.
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| Dienstag, 23. Mai 2017 | Vierzehnte
Vorlesung. Satz von Hessenberg (Beweis). Absorptionstheorem der
Kardinalzahlmultiplikation. Einige Berechnungen in der Kardinalzahlarithmetik.
ℵ1 ist keine abzählbare Vereinigung von abzählbaren
Ordinalzahlen. ℵω ist abzählbare Vereinigung
kleinerer Ordinalzahlen. Konfinale Funktionen. Konfinalität. Reguläre
und singuläre Kardinalzahlen.
Übungsblatt
#8 (Abgabe: 30. Mai 2017).
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| Montag, 29. Mai 2017
| Fünfzehnte Vorlesung. (Vertretung durch Herrn Dr. Wohofsky)
Konfinale Mengen. Aufsteigende konfinale Funktionen. Konfinalität ist reguläre Kardinalzahl. Nachfolgerkardinalzahlen sind regulär. Gimel-Funktion. ℷ(κ) > κ und einfache Folgerungen.
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| Dienstag, 30. Mai 2017 | Sechzehnte
Vorlesung. (Vertretung durch Herrn Block) . Unendliches Produkt und unendliche Summe. Satz von König. Einfache Folgerungen aus dem Satz von König. Einschränkungen für die Kontinuumfunktion bei regulärem Exponenten.
Übungsblatt #9 (Abgabe: 13. Juni 2017).
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| Montag, 5. Juni 2017 | Pfingstmontag
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| Dienstag, 6. Juni 2017 | Pfingstpause
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| Montag, 12. Juni 2017
| Siebzehnte Vorlesung.
Hauptsatz über die Kontinuumsfunktion. Exkurs zum Club-Filter auf ℵ1.
Wiederholung: metrische Räume und ihre Topologie.
Gδ- und Fσ-Mengen.
Dichte Mengen. Separable Räume. Vollständigkeit einer Metrik. Polnische Räume.
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| Dienstag, 13. Juni 2017
| Achtzehnte Vorlesung. (Vertretung durch Herrn Block). Abgeschlossene Mengen als
Gδ-Mengen. Beispiele von polnischen Rämen, insbesondere Cantor-Raum und
Baire-Raum. Perfekte polnische Räume und perfekte Teilmengen. Einbettung des Cantor-Raums in
perfekte polnische Räume. Perfect Set Property. Cantor-Bendixson-Ableitung und iterierte
Cantor-Bendixson-Ableitung
Übungsblatt #10 (Abgabe: 20. Juni 2017).
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| Montag, 19. Juni 2017
| Neunzehnte Vorlesung. Mächtigkeit der Mengen der offenen, abgeschlossenen und
perfekten Mengen eines polnischen oder perfekten polnischen Raums. Bernstein-Mengen. Satz von
Bernstein: es gibt eine Bernstein-Menge.
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| Dienstag, 20. Juni 2017
| Zwanzigste Vorlesung.
Satz von Cantor-Bendixson mit Beweis. σ-Algebren. Die Borel-σ-Algebra.
Satz von Hausdorff über die perfekte Mengeneigenschaft (ohne Beweis).
Die Borel-Hierarchie (Definition).
Übungsblatt #11 (Abgabe: 27. Juni 2017).
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| Montag, 26. Juni 2017
| Einundzwanzigste Vorlesung.
Grundlegende Eigenschaften der Borel-Hierarchie. Höhe der Borel-Hierarchie.
Zusammenhang zwischen der Borel-Hierarchie eines Raums und eines Teilraums. ℵ1 als
obere Schranke für die Höhe der Borel-Hierarchie. Mächtigkeit der Menge aller Borel-Mengen.
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| Dienstag, 27. Juni 2017
| Zweiundzwanzigste Vorlesung.
Mächtigkeit der Menge aller Lebesgue-meßbaren Mengen.
Universelle Mengen für die Borel-Stufen im Cantor-Raum.
Höhe der Borel-Hierarchie in überabzählbaren polnischen Räumen.
Satz von Hausdorff (ohne Beweis).
Summen topologischer Räume und Borel-Verfeinerungen.
Verfeinerung, um abgeschlossene Mengen offen und abgeschlossen zu machen.
Übungsblatt #12 (Abgabe: 4. Juli 2017).
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| Montag, 3. Juli 2017
| Dreiundzwanzigste Vorlesung.
Beweis des Satzes von Hausdorff: alle Borel-Mengen eines polnischen Raums haben die perfekte Mengeneigenschaft.
Stetige Bilder von Borel-Mengen: die analytischen Mengen und die projektive Hierarchie. Die Grenzen der
Beweisbarkeit der perfekten Mengeneigenschaft (ohne Beweis).
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| Dienstag, 4. Juli 2017
| Vierundzwanzigste Vorlesung. Wiederholung des Hauptsatzes über die Kontinuumsfunktion (rekursive
Rückführung der Kontinuumsfunktion auf die Gimel-Funktion). Hauptsatz der Kardinalzahlarithmetik
(rekursive Rückführung der Exponentiation auf die Kontinuumsfunktion und die Gimel-Funktion).
Durchrechnen eines Beispiels unter Vorgabe der Gimel-Funktion.
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| Montag, 10. Juli 2017
| Q&A für die Klausur. Besprechung der Probeklausur.
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| Dienstag, 11. Juli 2017
| Klausur. 14:15-16:00 (105 Minuten).
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