| Inhalt: |
Mathematik ist eine deduktive Wissenschaft: Aussagen werden nicht durch Beobachtung oder Experimente verifiziert, sondern in
axiomatischen Systemen bewiesen. Wir gehen davon aus, dass bewiesene Sätze wahr sind, aber ist auch jeder wahre Satz in einem
geeigneten Axiomensystem beweisbar? Und wenn ja, wie entscheiden wir, welches Axiomensystem "geeignet" ist?
Die mathematische Logik beschäftigt sich mit Grundlagenfragen zur mathematischen Methode, der sogenannten Metamathematik. Sie gibt
präzise mathematische Definitionen für grundlagentheoretische Begriffe wie "wahr", "formales System" und "beweisbar" und beweist, dass
formale Beweisbarkeit in einem axiomatischen System gleichbedeutend mit Wahrheit in allen Strukturen, die diese Axiome erfüllen, ist
(der sogenannte Gödelsche Vollständigkeitssatz).
Nachdem man die Grundlagen der axiomatischen Methode gelegt hat, kann man die Mathematik in einem geeigneten grundlagentheoretischen
System einfangen: das übliche Axiomensystem für dieses Unterfangen ist die Zermelo-Fraenkelsche Mengenlehre, die wir dann im zweiten
Teil der Vorlesung genauer untersuchen werden.
|
| Ablauf:
|
| Dienstag, 3. April 2018 | Erste Vorlesung. Der Zusammenhang zwischen Logik und
Mengenlehre. Abstrakte Mathematik und metaphysische Probleme: die Motivation für eine einheitliche Grundlage der Mathematik, die
ontologische Fragen adäquat beantwortet. Georg Cantor und die Protagonisten der Mengenlehre: Kardinalzahlen und Ordinalzahlen.
Cantors Theorem: es gibt keine Surjektion von einer Menge X auf ihre Potenzmenge (mit Beweis). Theorem von Cantor-Bendixson:
jede überabzählbare abgeschlossene Menge reeller Zahlen enthält eine nichtleere perfekte Menge (mit Beweisskizze). Das
Komprehensionsprinzip.
| | Dienstag, 4. April 2018
|
Zweite Vorlesung. Russell's Paradox. Alphabete und Zeichenketten. Das Alphabet einer Sprache erster Stufe. Signaturen un
Stelligkeiten. Terme und Termableitungen. Induktion über den Termaufbau.
Übungsblatt #1 (Abgabe: 11. April 2018).
| | Dienstag, 10. April 2018
| Dritte Vorlesung.
Formelableitungen und Formeln. Induktion über den Formelaufbau. Rekursion über Term- und Formelaufbau.
17 Uhr: Habilitationsvortrag Dr. Yurii Khomskii im Rahmen
des Kolloquiums für Reine Mathematik: Definability and the Structure of the Real Line
| | Mittwoch, 11. April 2018
| Vierte Vorlesung.
Beispiele für rekursiv definierte Funktionen: die Variablenmenge, die Menge der freien Variablen.
Semantik: Strukturen, Belegungen, Interpretationen. Interpretation eines Terms. Interpretation einer Formel.
Übungsblatt #2 (Abgabe: 18. April 2018).
| | Dienstag, 17. April 2018
|
Fünfte Vorlesung
(vertreten durch Herrn Dr. Khomskii).
Sätze. Semantische Folgerungsbeziehung. Allgemeingültigkeit.
Erfüllbarkeit. Logische Äquivalenz. Koinzidenzlemma (ohne Beweis).
Isomorphismen und das Isomorphielemma (erste Hälfte des Beweises).
(Tafelbild der fünften Vorlesung.)
| | Mittwoch, 18. April 2018
|
Sechste Vorlesung.
Isomorphielemma (zweite Hälfte des Beweises). Elementare Einbettungen, elementare Äquivalenz.
Isomorphismen sind elementare Einbettungen. Einbettungen, quantorenfreie Formeln. Einbettungen erhalten
quantorenfreie Formeln. Sätze, die die endliche Mächtigkeit der zugrundeliegenden Menge bestimmen.
Elementar äquivalente endliche Strukturen müssen die gleiche Mächtigkeit haben.
Übungsblatt #3 (Abgabe: 25. April 2018).
| | Dienstag, 24. April 2018
| Vorlesung fällt aus.
| | Mittwoch, 25. April 2018
| Siebte Vorlesung. Definierbarkeit von Mengen in
S-Strukturen. Nichtdefinierbarkeit von N in
(R,≤) und in (R,≤,+). Die Sprache der Mengenlehre
LST und LST-Strukturen (gerichtete Graphen). Extensionalität und
das Extensionalitätsaxiom. Das Komprehensionsschema: positive
Konsequenzen (Existenz der leeren Menge, Existenz der Einermenge der
leeren Menge), negative Konsequenzen (Russells Paradox). Das
Leeremengenaxiom, das Einermengenaxiom, das Paarmengenaxiom.
Gütigkeit der Axiome in einigen einfachen gerichteten Graphen.
Teilmengen in gerichteten Graphen.
Übungsblatt #4 (Abgabe: 2. Mai 2018).
| | Dienstag, 1. Mai 2018 | Maifeiertag
| | Mittwoch, 2. Mai 2018
| Achte Vorlesung.
Das Potenzmengenaxiom. Das binäre Vereinigungsaxiom. Modelle von
(Leer), (Ext), (Paar) können nicht endlich sein. Konstruktion eines
Graphenmodells für (Paar), in dem (Pot) und (BinVer) nicht gelten.
Das Aussonderungsschema.
Übungsblatt #5 (Abgabe: 9. Mai 2018).
| | Dienstag, 8. Mai 2018 | Neunte
Vorlesung. (Aus) impliziert, dass es keine universelle Menge gibt (äquivalent: dass der
Graph kein maximales Element hat). Lokal endliche Graphen als Modelle der Mengenlehre. Das Graphenmodell für
(Paar) erfüllt (Aus). Ein Graphenmodell für (Pot), welches alle bisherigen Axiome erfüllt, aber immer
noch lokal endlich ist. Das Vereinigungsaxiom und sein Zusammenhang mit dem binären Vereinigungsaxiom.
Induktive Mengen und eine intuitive Formulierung des Unendlichkeitsaxioms.
| | Mittwoch, 9. Mai 2018 | Zehnte
Vorlesung. Redukte. Definitionserweiterungen: Relationssymbole, Konstantensymbole,
Funktionssymbole.
Übungsblatt #6
(Abgabe: 16. Mai 2018).
| | Dienstag, 15. Mai 2018 | Elfte
Vorlesung. Das Axiomensystem FST und Definitionen von Konstanten
und Funktionen in FST: leere Menge, Vereinigung, Schnitt, kartesisches
Produkt, Relationen, Funktionen. Induktive Mengen und das
Unendlichkeitsaxiom. Existenz einer kleinsten induktiven Menge, bezeichnet
als N. Transitivität von Mengen. Eigenschaften von N:
N und seine Elemente sind transitiv und durch die Elementrelation
strikt linear geordnet.
| | Mittwoch, 16. Mai 2018
| Zwölfte Vorlesung.
Eigenschaften der Ordnung (N,⊆): 0 ist das kleinste Element,
die Ordnung ist diskret, 0 ist der einzige Nichtnachfolger, jede nichtleere
Teilmenge hat ein kleinstes Element. Fundiertheit und Wohlordnungen.
Der Rekursionssatz für Funktionen von N nach N.
Übungsblatt #7
(Abgabe: 30. Mai 2018).
| | Dienstag, 22. Mai 2017
| Pfingstpause
| | Mittwoch, 23. Mai 2018
| Pfingstpause
| | Dienstag, 29. Mai 2018
| Dreizehnte Vorlesung.
Grassmann-Rekursionsgleichungen: rekursive Definitionen für Addition und Multiplikation.
Begriffe der Endlichkeit und Unendlichkeit und grundlegende Eigenschaften.
Gleichmächtigkeit. Dedekind-Endlichkeit.
Jede endliche Menge ist Dedekind-endlich. Synthetische Definitionen für Addition und Multiplikation
natürlicher Zahlen.
| | Mittwoch, 30. Mai 2017 | Vierzehnte
Vorlesung.
Rekursionssatz auf den natürlichen Zahlen, Version 2. Die Konstruktion eines Modells von FST in der
Mengenlehre Z mit Hilfe des Rekursionssatzes. Funktionale Formeln und das Ersetzungsschema. Rekursionssatz auf
den natürlichen Zahlen, Version 3. Anwendung: Mengen, die größer sind als Iterationen von
Potenzmengenoperationen. Partielle und lineare Ordnungen, Fundiertheit, Wohlordnungen. Ordnungssumme und -produkt.
Übungsblatt #8 (Abgabe: 5. Juni 2018).
| | Dienstag, 5. Juni 2018 | Fünfzehnte Vorlesung.
Wohlordnungen erfüllen das Prinzip der Ordnungsinduktion.
Anfangssegmente und echte Anfangssegmente in Wohlordnungen.
Ordnungserhaltende Abbildung und Isomorphismen und ihre Eigenschaften.
Fundamentalsatz über Wohlordnungen.
| | Mittwoch, 6. Juni 2018
| Sechzehnte Vorlesung (vertreten durch Herrn Dr. Khomskii).
Ordinalzahlen. Eigenschaften von Ordinalzahlen: α∉α, Elemente
von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen, Schnitte von Ordinalzahlen sind
Ordinalzahlen, lineare Ordnung von Ordinalzahlen. Ordinalzahlen sind die durch sie
selbst definierten Anfangssegmente. Nachfolgerordinalzahlen. Vereinigungen von
Mengen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen. Es gibt keine Menge aller Ordinalzahlen.
Überabzählbare Ordinalzahlen: der Satz von Hartogs. Darstellungssatz
für Wohlordnungen: jede Wohlordnung ist isomorph zu einer eindeutig
bestimmten Ordinalzahl. Limesordinalzahlen.
(Tafelbild der sechzehnten Vorlesung.)
Übungsblatt #9 (Abgabe: 13. Juni 2018).
| | Dienstag, 12. Juni 2018
| Siebzehnte Vorlesung.
Die Ordinalzahlen formen eine klassengroße Wohlordnung.
Charakterisierung von Limesordinalzahlen.
Transfinite Induktion und transfinite Rekursion.
Rekursive Definitionen auf der Klasse der Ordinalzahlen.
Ordinalzahladdition: rechtsseitige (strikte) Monotonie, Assoziativität.
| | Mittwoch, 13. Juni 2018
| Achtzehnte Vorlesung.
Ordinalzahladdition: linksseitige Monotonie, Nichtkommutativität, rechtsseitige Subtraktion.
Synthetische Definition der Ordinalzahladdition und Äquivalenz zur rekursiven Definition
(mit Beweis).
Ordinalzahlmultiplikation: Definition, Eigenschaften, Nichtkommutativität, einige Rechenbeispiele.
Rechtsseitige Division mit Rest (ohne Beweis).
Synthetische Definition der Ordinalzahlmultiplikation und Äquivalenz zur rekursiven Definition
(ohne Beweis). Ordinalzahlexponentiation: Definition. Ordinalzahlen als kanonische
Repräsentanten von Ordnungstypen; Suche nach kanonischen Repräsentanten in den Gleichmächtigkeitsklassen
einer Menge: falls X eine endliche Menge ist, so gibt es eine eindeutige Ordinalzahl α, die zu X
gleichmächtig ist.
Übungsblatt #10 (Abgabe: 20. Juni 2018).
| | Dienstag, 19. Juni 2018
| Neunzehnte Vorlesung.
Die Ordinalzahlen ω und ω1 sind kleinste
Ordinalzahlrepräsentanten für ihre Gleichmächtigkeitsklassen.
Verallgemeinerter Satz von Hartogs: für jede Menge gibt es eine Ordinalzahl, die
nicht in diese Menge injektiv eingebettet werden kann. Definition des Hartogs-Alephs:
ℵ(X).
Kardinalzahlen. Satz von Cantor-Schröder-Bernstein (ohne Beweis).
Die ℵα: Beweis, daß ℵλ eine Kardinalzahl ist.
Auswahlfunktionen und das Auswahlaxiom. ZFC. Zermeloscher Wohlordnungssatz. Äquivalenz zum Auswahlaxiom.
| | Mittwoch, 20. Juni 2018
| Zwanzigste Vorlesung. Kardinalitäten in ZFC. Kardinalzahlarithmetik: Addition, Multiplikation,
Exponentiation. Gerade und ungerade Ordinalzahlen. Beweis, daß κ+κ = κ. Satz von Hessenberg
(ohne Beweis). Kardinalzahlexponentiation mit kurzer historischer Übersicht über das Kontinuumsproblem und
seine Unlösbarkeit. Das Regularitätaxiom: Nichtexistenz unendlicher absteigender Ketten. Satz über die
∈-Induktion. Definition der von Neumann-Hierarchie.
Übungsblatt #11 (Abgabe: 27. Juni 2018).
| | Dienstag, 26. Juni 2018
| Einundzwanzigste Vorlesung.
Die Standardaxiomensysteme der Mengenlehre:
FST,
Z-,
ZF-,
ZC-,
ZFC-,
Z,
ZF,
ZC,
ZFC.
Die Mirimanoffsche Rangfunktion.
Beweis in ZF, dass jede Menge in einem von Neumann-Rang liegt.
Klassen und Mengen: Koextensionalität und echte Klassen. Beweis in ZF, dass eine
definierbare Klasse genau dann echt ist, wenn sie unbeschränkt in der von Neumann-Hierarchie ist.
Logik: Erinnerung an das Koinzidenzlemma. Substitution: Probleme bei Substitution mit Variablen, die in der Formel
gebunden vorkommen. Definition der Substitutionsfunktion. Das Substitutionslemma (ohne Beweis).
| | Mittwoch, 27. Juni 2018
| Zweiundzwanzigste Vorlesung.
Formaler Beweisbegriff: Gentzensche Sequenzen und ihre Bedeutung. Korrektheit von Sequenzen. Korrektheit von
Sequenzenregeln. Die Regeln des Gentzen-Kalküls: Abschwächungsregel, Voraussetzungsregel, Fallunterscheidungsregel,
Reflexivitätsregel, Substitutionsregel,
∨-Einführung im Antezedens, ∨-Einführung im Sukzedens,
Existenzquantor-Einführung im Antezedens, Existenzquantor-Einführung im Sukzedens mit entsprechenden Korrektheitsbeweisen.
Übungsblatt #12 (Abgabe: 4. Juli 2018).
| | Dienstag, 3. Juli 2018
| Dreiundzwanzigste Vorlesung (vertreten durch Herrn Dr.
Khomskii). Definition Kalkül; Korrektheit und Vollständigkeit
eines Kalküls. K-Ableitungen und K-Ableitbarkeit.
Ableitbarkeit von Regeln in einem Kalkül. Widersprüchlichkeit
und Widerspruchsfreiheit. Gödelscher Vollständigkeitssatz
(ohne Beweis). Kompaktheitssatz.
(Tafelbild der dreiundzwanzigsten
Vorlesung.)
| | Mittwoch, 4. Juli 2018
| Vierundzwanzigste Vorlesung
(vertreten durch Herrn Dr. Khomskii). Beweis des Gödelschen
Vollständigkeitssatzes: Termmodell, Negationstreue, Enthalten von
Beispielen, Satz von Henkin, Erweiterung von widerspruchsfreien
Satzmengen zu negationstreuen und widerspruchsfreien Satzmengen,
Hinzufügen von Beispielen (Skolemisierung).
(Tafelbild der vierundzwanzigsten
Vorlesung.)
| | Dienstag, 10. Juli 2018
| Fünfundzwanzigste Vorlesung.
Abschätzung der Größe des Termmodells
| | Mittwoch, 11. Juli 2017
|
Übung. Besprechung der Musterklausur.
Q&A für die Klausur.
| | Mittwoch, 18. Juli 2017
| Klausur. 13:00-15:00 (120 Minuten).
|
|
