OBERSTUFE (Klassen 11-13)                    Zu den Aufgaben der Mittelstufe

Aufgabe 1:
Unter einer Höhe in einem Fünfeck versteht man das Lot von einem Eckpunkt auf die gegenüber-
liegende Seite, unter einer Mediante die Strecke von dem Mittelpunkt einer Seite zu der gegen-
überliegenden Ecke. Beweisen Sie, dass das Fünfeck regulär ist, wenn alle Höhen und Medianten
gleichlang sind.

Aufgabe 2:
Es gibt bekanntlich 1000 aufeinanderfolgende Zahlen, die alle keine Primzahlen sind, z.B. 1001! +
2, 1001! + 3, . . . , 1001! + 1001. Gibt es 1000 aufeinanderfolgende Zahlen, unter denen sich genau
fünf Primzahlen befinden?

Aufgabe 3:
Auf einer Geraden bewegen sich fünf Punkte von links und fünf Punkte von rechts aufeinander
zu. Sie haben alle immer die gleiche konstante Geschwindigkeit. Jedesmal, wenn sich zwei Punkte
treffen, ändern sie augenblicklich ihre Richtung um 180° und beide bewegen sich dann in die
entgegengesetzte Richtung. Wieviele Kollisionen finden dabei höchstens statt?

Aufgabe 4:
Auf einer dünnen quadratischen Torte liegen einige dreieckige Kekse, die sich gegenseitig nicht
überlagern. Ist es möglich, die Torte so in lauter konvexe polygonale Stücke zu zerteilen, dass
jeder Keks auf genau einem Stück zu liegen kommt? (Dabei heißt ein Polygon konvex, wenn es
keine einspringenden Ecken hat.)

Aufgabe 5:
Die einzigen Steine auf einem 8 x 8-Schachbrett sind drei Türme, ein roter, ein weißer und ein
schwarzer Turm. Der weiße Turm steht anfangs in dem Eckfeld links unten, rechts daneben der
rote und direkt über dem weißen Turm der schwarze Turm. Wie der Turm im Schachspiel dürfen
sie sich nur entlang von Zeilen und Spalten bewegen, aber keine Figur überspringen. Zusätzlich
wird verlangt, dass sie nur Positionen einnehmen dürfen, in der jeder Turm von mindestens einem
weiteren Turm gedeckt ist, d.h. in jeder Position muss sich stets ein weiterer Turm in der gleichen
Zeile oder gleichen Spalte befinden.
Ist es möglich. dass sich nach einer Reihe von zulässigen Positionswechseln schließlich der weiße
Turm in dem Eckfeld rechts oben, der rote Turm in dem Feld darunter und  der schwarze Turm
direkt neben dem weißen Turm befindet?
 

An Hilfsmittel sind nur das ausgegebene Papier, Schreibgerät, Lineal und Zirkel
zugelassen. Auf jedem Blatt sind der Name, Vorname und die Nummer der Aufgabe
einzutragen. Gewertet werden höchstens drei Aufgaben. Alle Aufgaben haben die
gleiche Punktzahl.

Zeit: 4,5 Stunden.