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Dr. Ernst Kleinert

Fachbereich Mathematik der
Universität Hamburg
Bundesstr. 55
20146 Hamburg, GERMANY

ernst.kleinert@uni-hamburg.de

Vorlesung im WS 24/25: Bewertungen und Lokale Zahlentheorie

Veranstalter: Ernst Kleinert

Inhalt: Ein lokaler Körper ist die Komplettierung eines Zahlkörpers (allgemeiner eines “globalen” Körpers, dieser Begriff wird in der Vorlesung eingeführt) nach einem seiner Absolutbeträge; so wie der reelle Körper die Komplettierung des rationalen Körpers nach dem gewöhnlichen Absolutbetrag ist. Die Absolutbeträge eines Zahlkörpers entsprechen seinen Einbettungen in den komplexen Körper (“archimedischer” Fall) und den Primidealen seines Ganzheitsbereichs (“nichtarchimedischer” Fall); im Fall des rationalen Körpers treten also dem reellen Körper unendlich viele “p-adische” Körper zur Seite. Viele “globale” Probleme (etwa Lösungen diophantischer Gleichungen) haben “lokale”, durchweg einfacher zu behandelnde Analoga und können auf diese zurückgeführt werden (manche vollständig, dann spricht man einem “Lokal-Global-Prinzip” oder “Hasse-Prinzip”, andere nur bis zu einem gewissen Grade). Daher sind die lokalen Methoden aus der modernen Zahlentheorie nicht mehr wegzudenken. Die Vorlesung bringt zunächst eine Einführung in die allgemeine Theorie der Bewertungen und Absolutbeträge; ein Hauptziel der Vorlesung ist die Erarbeitung des Begriffs “globaler Körper”. Es folgt die arithmetische Theorie der lokalen Körper (der nichtarchimedischen, denn die archimedischen sind nach einem Satz von Ostrowski isomorph zum reellen oder komplexen Körper und haben keine “natürliche” arithmetische Struktur). Falls Zeit bleibt, wird die lokale Klassenkörpertheorie besprochen (die globale wird Gegenstand des folgenden Semesters).

Vorkenntnisse: Algebra und Grundwissen über Zahlkörper.

Literatur: wird in der Vorlesung angegeben.

Ort und Zeit: Freitags 8.00-10.00 im H3, Beginn 18.10.