Priv.-Doz. Dr. Ernst Kleinert

Inhalt: In der Klassenkörpertheorie gipfelt die klassische algebraische Zahlentheorie. Ihre Hauptresultate sind ein Existenzsatz: die abelschen Erweiterungen des Zahlkörpers K entsprechen bijektiv verallgemeinerten Idealklassengruppen von K, sodann das Artinsche Reziprozitätsgesetz: entspricht die Erweiterung L/K der Gruppe H, so ist H in kanonischer Weise isomorph zu Gal(L/K). Entsprechende Resultate für beliebige (galoissche) Erweiterungen von Zahlkörpern sind seit langem Gegenstand laufender Forschung; der tiefste und am meisten versprechende Ansatz ist das Programm von Langlands.

Die Vorlesung bringt zunächst die klassische idealtheoretische Version der Hauptsätze, im Einzelnen: Galoistheorie und Primzerlegung – Frobeniusautomorphismus und Artinabbildung – Verallgemeinerte Idealklassengruppen – Reziprozitätsgesetz – Existenzsatz und Folgerungen (Satz von Kronecker-Weber, Hilbertscher Klassenkörper). Vollständige Beweise können nicht gegeben werden, doch soll versucht werden, die „großen Linien“ der Argumentation herauszustellen. Falls Zeit bleibt: die neuere ideltheoretische Formulierung, die eine direkte Fortsetzung in der Langlandskorrespondenz hat, lokale Klassenkörpertheorie.

Voraussetzungen: Vorausgesetzt wird Grundwissen über algebraische Zahlkörper und ihre Komplettierungen.

Literatur:  wird in der Vorlesung angegeben.

Ort und Zeit: Freitags 8.00-10.00 im H3, Beginn 11.4.

Inhalt: Eine Grundaufgabe von Algebra und Zahlentheorie ist die Lösung ganzzahliger Polynomgleichungen f(x) = 0, f ∈ ℤ[x] . Es stellt sich schnell heraus, daß eine sachgemäße Bearbeitung dieser Aufgabe Kenntnis der arithmetischen Strukturen erfordert, welche durch die Lösungen solcher Gleichungen erzeugt werden. Dies ist die Arithmetik der Zahlkörper (= endlich-dimensionale Erweiterungen des rationalen Grundkörpers). Die Vorlesung entwickelt die Grundlagen dieser Theorie. Themen sind: ganze algebraische Größen, Dedekindringe, Differente und Diskriminante, Idealklassengruppe, Einheitensatz von Dirichlet. Wenn Zeit bleibt: Galoistheorie und Primzerlegung, analytische Methoden. An Beispielen werden namentlich quadratische und Kreisteilungskörper besprochen. Es ist geplant, den Kursus mit Vorlesungen über lokale Zahlentheorie und Klassenkörpertheorie fortzusetzen.

Vorkenntnisse: Grundwissen über Zahlen, Ringe und Körper. Hinweis: Es werden keine speziellen Kenntnisse der (sog.) elementaren Zahlentheorie vorausgesetzt.

Literatur: wird in der 1.Vorlesung angegeben.