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Veranstalter:

Ralf Holtkamp.

Inhalt:

Ein Young-Tableau ist ein Kästchenschema, das nach bestimmten Regeln mit Zahlen gefüllt ist. Diese Young-Tableaux ermöglichen einige interessante Konstruktionen. Sie treten in der Mathematik sehr oft auf, insbesondere beim Studium von symmetrischen Funktionen und der Theorie der linearen Darstellungen der symmetrischen Gruppen oder komplexen allgemeinen linearen Gruppen.

• Vortrag 1: Young Tableaux, Bumping und Jeu de Taquin. Aus [F, §1]. Führen Sie Young-Diagramme und Tableaux ein und erläutern Sie Bumping- und Sliding-Operationen.

• Vortrag 2: Wörter und Relationen. Aus [F, §2.1]. Definieren Sie das plaktische Monoid. Formulieren Sie den Satz, der den Zusammenhang mit den Young Tableaux herstellt, und beweisen Sie die Korollare.

• Vortrag 3: Schur-Polynome, Spalten. Aus [F, §2.2, 2.3]. Führen Sie symmetrische Funktionen ein und definieren Sie die Schur-Polynome.

• Vortrag 4: Ansteigende Folgen in Wörtern. Aus [F, §3]. Beweisen Sie den Satz aus Vortrag 2.

• Vortrag 5: Robinson-Schensted-Knuth-Bijektion (Teil 1). Aus [F, §4.1, 4.3]. Der Robinson-Schensted-Knuth-Algorithmus ist ein wichtiges und schönes Beispiel für einen kombinatorischen Algorithmus. Er liefert den konstruktiven Beweis für eine (kombinatorische) Identität.

• Vortrag 6: Robinson-Schensted-Knuth-Bijektion (Teil 2). Aus [F, §4.2]. Beweisen Sie den Satz über die RSK-Bijektion.

• Vortrag 7: Die Littlewood-Richardson-Regel (Teil 1). Aus [F, §5.1, 5.2]. Diese Regel spielt bereits eine zentrale Rolle in der Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppen.

• Vortrag 8: Die Littlewood-Richardson-Regel (Teil 2). Aus [F, §5.3 / A3]. Ziele des Vortrags sind weitere Interpretationen der Littlewood-Richardson-Zahlen.

• Vortrag 9: Der Ring der symmetrischen Polynome (Teil 1). Aus [F, §6.1].  Neben den Schur-Polynomen sollen weitere Basen symmetrischer Polynome eingeführt werden.

• Vortrag 10: Der Ring der symmetrischen Polynome (Teil 2). Aus [F, §6.2]. Erläutern Sie Grundlegendes über Ringe und deren Strukturkonstanten und interpretieren Sie Ergebnisse der vorhergehenden Vorträge neu. Zeigen Sie mit der Jacobi-Trudi-Formel einen anderen Zugang zu Schur-Polynomen auf.

• Vortrag 11+12: Darstellungen der symmetrischen Gruppen (Teil 1+2). Aus [F, §7]. In diesen (in der Vorbereitung schwereren) Vorträgen soll eine Einführung in die Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppen gegeben werden. Sie hat zahlreiche Anwendungen, auch in der Physik.

• Vortrag 13: Darstellungen der Gruppen GLn. Aus [F, §8]. Zeigen Sie, wie man die zuvor entwickelten Konzepte in natürlicher Weise für die Darstellungen der Gruppen GLn verwenden kann.

Ziel:

Durch die Teilnahme am Proseminar und die Vorbereitung eines Vortrags sollen Sie lernen, mathematische Sachverhalte einer Gruppe von Mitstudierenden zu präsentieren.

Für:

Studierende der Mathematik in der ersten Studienphase.

Vorkenntnisse:

Inhalte der Vorlesungen zur linearen Algebra.

Literatur:

Young Tableaux, Fulton, W., Cambridge University Press
Weitere Literatur wird in der Vorbesprechung angegeben.

Zeit und Ort:

Di 10–12, Geom 435