Vertiefung Mengenlehre, Sommer Semester 2016

Vertiefung Mengenlehre

Sommer Semester 2016

Dozent: Yurii Khomskii

E-Mail: yurii@deds.nl
Inhalt: Diese Vorlesung bietet eine Einführung zu Unabhängigkeitsbeweisen in der Mengenlehre. Konkreter Leitfaden der Vorlesung ist die Unabhängigkeit der Verallgemeinerten Kontinuumshypothese (GCH) von den Axiomen der Mengenlehre (ZFC), deren eine Richtung im Jahre 1938 von Kurt Gödel, und die andere im Jahre 1964 von Paul Cohen, bewiesen wurde. Die jeweiligen Methoden---innere Modelle und Forcing---haben zu weitgehenden Fortschritten in der Mengenlehre geführt und bilden immer noch die wichtigsten Techniken, die die Mathematiker heutzutage haben, um Unabhängigkeit mathematischer Aussagen von den ZFC-Axiomen zu beweisen.
Literatur: Wir folgen hauptsächlich:
Kenneth Kunen, Set theory, Studies in Logic (London), 34. College Publications, London, 2011. viii+401 pp. ISBN: 978-1-84890-050-9.
Prüfung: Es gibt wöchentliche Hausaufgaben, die jeweils am nächsten Montag abgegeben werden müssen. Eine Mindestestpunktzahl von 50% muss bei den Aufgaben erreicht werden, um zu der Prüfung zugelassen zu werden. Eine mündliche Prüfung erfolgt am Ende der Vorlesung.

Wöchentlicher Inhalt

Vorlesung	Datum	Stoff	Abschnitte im "Kunen"	Hausaufgaben	Extra Stoff (zum Spass)

1	4 April	Einführung Die Idee der relativen Konsistenzbeweise Relativierung und Beispiele Metasprache und formale Sprache	Kapitel 0 Abschnitte I.1, I.2 und I.3 (zur "Erfrischung" auch I.4 und I.5) Abschnitte I.14 und I.15 kann man ganz lesen, wichtig sind aber vorläufig S. 99-103. Einige wichtige Anmerkungen zu Kunens Lehrbuch.	Woche 1.pdf	Wilfred Hodges, An Editor Recalls Some Hopeless Papers Ein witziger Artikel.
2	11 April	Die formale ⊨ Beziehung Definierbarkeit und Undefinierbarkeit des Wahrheitsprädikates Absolutheit Δ₀-Aussagen	Abschnitt I.15 bis S. 87. Abschnitt I.16. Zusammenfassung der Metamathematik. Bemerkung: Eine übersichtlichere Einführung zum Thema Relativierung, relative Konsistenz und Absolutheit bieten die entsprechenden Abschnitte aus der ehemaligen Ausgabe von Kunen (1980).	Woche 2.pdf	www.youtube.com/watch?v=1bZv3pSaLtY Ein Interview mit Bertrand Russell (bekannt vom Russellschen Paradoxon), aufgenommen im Jahre 1959. Zwar hat es mit Mengentheorie nicht viel zu tun, aber trotzdem interessant.
3	18 April	Mehr Absolutheit Absolutheit von Klassen und Konstanten Modelle von ZFC-Fragmenten V_λ ⊨ ZFC \ Replacement für alle Limesordinalzahlen > ω H_κ ⊨ ZFC \ Power Set für alle Reguläre Kardinalzahlen > ω Stark unerreichbare Kardinalzahlen	Abschnitt II.2 (achten Sie dabei nicht auf WF, sondern nur auf "R(γ)") Abschnitt II.4 Abschnitt I.13, S. 77-79 (für die Definition und Eigenschaften von H_κ und von ℶ_α)	Woche 3.pdf
4	25 April	Stark unerreichbare Kardinalzahlen Tarski-Vaught Kriterium und der Löwenheim-Skolem-Satz Reflexionssätze Definition von D(A) und L	Abschnitt II.5 Abschnitt II.15, S. 87-89 (Zu Erfrischung des Mostowski-collapse) S. 56-58 Abschnitt II.15, S. 93-94 (Def. von D(A))	Woche 4.pdf
5	2 Mai	Einfache Eigenschaften von L und den L_δ. L ⊨ ZF Das Axiom V = L Absolutheit und Minimalität von L	Abschnitt II.6 bis Ende S. 137	Woche 5.pdf
6	9 Mai	L ⊨ AC L ⊨ GCH	Abschnitt II.6, S. 138-141	Woche 6.pdf	Zur Vorbereitung auf das nächste Thema, ein sehr interessanter Artikel von Paul Cohen zu seiner Erfindung. Paul Cohen, The Discovery of Forcing
7	23 Mai	Martins Axiom Eine Anwendung von MA in der Maßtheorie	Abschnitt III.3, S. 170-175 S. 178-179	Woche 7.pdf
8	30 Mai	Generische Filter P-Namen und G-Interpretation der P-Namen Die Definition von M[G] Eigenschaften von M[G]	Abschnitt IV.1 Abschnitt IV.2 bis S. 249	Woche 8.pdf
9	6 Juni	Die semantische und syntaktische Forcingrelation Definierbarkeitslemma und Wahrheitslemma (ohne Beweise) M[G] ⊨ ZFC	Abschnitt IV.2, S. 249-255	Woche 9.pdf	Akihiro Kanamori, Cohen and Set Theory Ein Artikel über Paul Cohen und die Geschichte der Forcing-methode.
10	13 Juni	Der Beweis der Definierbarkeits- und der Wahrheitslemma	Abschnitt IV.2, S. 255-260	Woche 10.pdf	Ein 6-teiliges Video von einem Vortrag von Paul Cohen, in Wien in 2006 Teil 1/6 Teil 2/6 Teil 3/6 Teil 4/6 Teil 5/6 Teil 6/6
11	20 Juni	Ende des Beweises der Definierbarkeits- und der Wahrheitslemma Cohen forcing ccc und Bewahrung von Kardinalitäten	Abschnitt IV.2, S. 260-261 Abschnitt IV.1 Abschnitt IV.3 bis S. 263	Woche 11.pdf
12	27 Juni	ccc und Bewahrung von Kardinalitäten Δ-Systemenlemma "gute Namen" und obere Schranke für die Kardinalität von 2^ℵ₀	Abschnitt IV.3, S. 262 - 266 Definition III.2.5 und Lemma III.2.6 (Δ-Systemen)	Woche 12.pdf
13	4 Juli	Der Wert von 2^ℵ₀ in Forcing-erweiterungen Cohen-forcing für höhere Kardinalitäten Iterationen	Abschnitt IV.3, S. 266 Abschnitt IV.7: S. 288 - 293 Abschnitt V (S. 315 - 315)	Keine Hausaufgaben mehr!
14	11 Juli	Forcingsiterationen Die Konsistenz von MA	Abschnitt V Einführung Abschnitt V.3 Abschnitt V.4 bis S. 337.	Keine Hausaufgaben mehr!

Mündliche Prüfung: 26.07.2016, 15:00 - 17:15 in Geom 409.

Relative Konsistenzbeweise, formale Sprache und Metasprache

ZFC-Modelle und Absolutheit, Δ₀-Aussagen

Modelle von ZFC-Fragmenten, z.B. V_λ und H_κ; stark unerreichbare Kardinalzahlen

Der Satz von Löwenheim-Skolem und Reflexionssätze

L, das Axiom V=L, das Auswahlaxiom und GCH in L

Martins Axiom

Die Grundbegriffe der Forcingmethode: generische Filter, dichte Mengen, Antiketten, P-Namen u.s.w.

Die semantische und syntaktische Forcingrelation

Die ZFC-Axiome in M[G]

Der Konsistenzbeweis von ¬CH und ¬GCH

Der Inhalt der letzten Vorlesung (Konsistenz von MA) ist kein Prüfungsstoff